集合论中"乘积"和相等性的逻辑内涵

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摘要

1. 致谢与引言

2. 泛性质

3. 实践中的积

4. 代数几何中的泛性质

5. Grothendieck使用等式的问题

6. 关于"典范"映射的更多内容

7. 更高级数学中的典范同构

8. 总结与参考文献

泛性质

我了解到数学基础有三类合理的体系：基于集合论的、基于类型论的和基于范畴论的。也有各种结果表明，广义上讲，这些基础能够证明相同的定理。然而，要讨论相等性，我们必须确切地确定我们所讨论的内容，因此我将选择ZFC集合论和经典逻辑作为我们讨论的基础。1

做出这一决定的基础很简单：如果一个数学家曾经上过关于其学科逻辑基础的课程（而许多人没有），那么这很可能是一门集合论课程。此外，纯数学文献是以表面上的集合论风格写成的：我们被告知群是具有某些结构和公理的集合，流形是具有不同结构和公理的集合，等等。这里"集合"一词只是"原子集合"这一概念的占位符。

显然，相等的两个集合具有相同的元素；这源于所谓的相等替换原则，该原则指出，如果X和Y是任何两个相等的数学对象，那么你在基础系统中关于X的任何陈述对Y也成立。反之，具有相同元素的两个集合是相等的，这被作为理论的一个公理强加。这确保了集合的抽象概念与我们对其所代表内容的心理模型相符：集合不多不少就是一个东西的集合。

现在我想开始讨论唯一表征数学对象的性质。让我们从一个例子开始：两个集合X和Y的积X × Y。我现在要警告读者，在接下来的几段中，我将非常仔细地区分X和Y的积的概念与X和Y的一个积的概念。两个集合的积X × Y被定义为有序对(x, y)的集合，其中x ∈ X且y ∈ Y（可以使用集合论的公理检查创建这个集合是可能的）。

注意，这里我们遇到了与实数相同的问题：在集合论中有几种不同的方式来定义有序对的概念。集合论设计得非常适合处理无序对：集合{x, y}和{y, x}具有相同的元素，因此是相等的，所以要定义有序对，需要使用某种技巧。

维基百科关于有序对的页面[Wik04b]目前给出了三种不同的构造，分别归功于Wiener（{{{x}, ∅}, {{y}}}）、Hausdorff（{{x, 1}, {y, 2}}）和Kurotowski（{{x}, {x, y}}）；这些都显得有些人为。2 数学家们再次清楚地知道，这个问题在实践中根本不重要：我们只需要知道有序对的定义性质，即(x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2且y1 = y2；这就是我们所需要的全部，而所有定义都满足这一性质。

积X × Y配备了两个投影映射π1 : X × Y → X和π2 : X × Y → Y。严格来说，不仅仅是积，而是三元组(X × Y, π1, π2)满足以下泛性质：

积的泛性质：如果三元组(P, π1 : P → X, π2 : P → Y)满足以下性质，则称其为X和Y的一个积：如果S是任何集合，且f : S → X和g : S → Y是函数，则存在唯一的从S到P的函数，使得它与π1的复合是f，与π2的复合是g。

泛性质不是两个集合积的定义；它可以被视为积需要满足的无限多个事实（对于每个集合S和函数f和g的选择都有一个）。验证X和Y的积X × Y，配备自然投影，是一个积并不难。但反过来却完全不成立：通常有很多其他三元组(P, π1, π2)满足作为积的性质，而不是那个积。

例如，如果X = {37}且Y = {42}，则积X × Y是{(37, 42)}，但实际上任何具有一个元素的集合P，配备π1 : P → X将所有内容映射到37和π2 : P → Y将所有内容映射到42，都满足作为积的泛性质。特别是，通常有不可数多的不同事物满足作为积的性质。然而，数学家们非常擅长识别这些不同的事物；它们在超越=符号正确用法的方式上是"相同的"。我们可以这样做是因为泛对象的唯一性瑜伽。让我们在积的情况下通过这个瑜伽，这是一段形式化的范畴论废话。

假设P1和P2都是X和Y的一个积。将P2的泛性质的存在部分（及其到X和Y的投影）应用于集合S = P1（及其到X和Y的投影）给我们一个函数α : P1 → P2，它与到X和Y的投影交换。在论证中交换1和2，我们也可以构造一个函数β : P2 → P1，它与投影交换。此外，β ◦ α是从P1到P1的映射，与投影交换，恒等函数也是如此；通过P1应用于P1的泛性质的唯一性部分，我们推断β ◦ α必须是P1上的恒等映射；同样，α ◦ β必须是P2上的恒等映射。

因此α和β是与投影映射交换的双射。最后，使用P2应用于P1的泛性质的唯一性部分告诉我们，α是从P1到P2的唯一与投影交换的映射，通过对称性，β是从P2到P1的唯一与投影交换的映射。这种抽象废话（从未提及任何集合的元素，只有对象和态射）的结果是，在P1和P2之间存在唯一的互逆双射，它们与到因子X和

Y的投影交换。特别是，如果P是X和Y的一个积，那么它以与投影兼容的方式唯一同构于X和Y的积X × Y。在我们的一元素例子X = {37}和Y = {42}中，如果P是任何一元素集，那么从P到X × Y的唯一映射当然将该元素映射到(37, 42)。

:::info 作者： KEVIN BUZZARD

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:::info 本论文可在arxiv上获取，采用CC BY 4.0 DEED许可证。

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